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Schubspiegelung

Nun zu den Dreifach-Spiegelungen.

 

Definition:

Eine Schubspiegelung ist eine Bewegung, die durch Hintereinanderausführung einer Spiegelung und einer Translation in Richtung der Spiegel-Geraden entsteht.

 

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Einfache Folgerungen aus der Definition der Schubspiegelung sind:

  1. Vertauscht man die Reihenfolge der HAF, erhält man dieselbe Bewegung; denn ...
     
  2. Die Schubspiegelung besitzt keinen Fixpunkt ; denn ...
     
  3. Die Spiegelgerade ist die einzige Fixgerade; denn ...
     

Die Bedeutung der Schubspiegelung wird deutlich in folgendem

Satz von den gegensinnigen Kongruenz-Abbildungen:

Zwei gegensinnig kongruente Dreiecke können entweder durch eine einzige Spiegelung oder durch eine einzige Schubspiegelung aufeinander abgebildet werden.

 

Es gibt mehrere Möglichkeiten der Beweisführung:

1. Möglichkeit:

Mache aus einem Dreieck durch Spiegelung ein zum zweiten gleichsinnig kongruentes Dreieck.
Das gespiegelte Dreieck kann nach dem Satz von den gleichsinnigen Kongruenzabbildungen entweder durch eine Drehung oder durch eine Translation oder durch die identische Abbildung auf das zweite Dreieck abgebildet werden.
 
Bleibt also zu untersuchen:
Was ergibt die HAF einer Spiegelung mit einer Drehung, was mit einer beliebigen Translation?

 

 

 

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