Folgerungen aus den Strahlensätzen bzw. aus dem Hauptsatz der Ähnlichkeitslehre
=> für Kreise:
Sekantensatz
- Schneiden sich zwei Sekanten innerhalb oder außerhalb
eines Kreises, so ist Produkt aus den Abschnitten der einen Sekante gleich
dem Produkt der Abschnitte der anderen Sekante.
Beweis durch Umstrukturierung der Wahrnehmung:
Statt der Sekanten die Winkel in den Blick nehmen!
Die Winkel ABC und ADC sind gleich (Umfangswinkel über der Sehne AC). Also (?) haben die Dreiecke SBC und SDA gleiche Winkel.
Nach dem Hauptsatz der Ähnlichkeitslehre verhält sich ïSBï
zu ïSCï wie
ïSDï zu ïSAï.
Nun mache aus der Verhältnisgleichung eine Produktgleichung.
Der Produktgleichung im Sekanten-Satz kann man auch eine geometrische Einkleidung geben:
- Schneiden sich zwei Sekanten innerhalb oder außerhalb
eines Kreises, so ist das Rechteck, gebildet aus den Abschnitten der einen
Sekante, flächengleich dem Rechteck, gebildet aus den Abschnitten der anderen
Sekante.
Wenn die Punkte A und B zusammenfallen, wird aus der einen Sekante eine Tangente.
Der Winkel ABC existiert nicht mehr. Dennoch haben die Dreiecke SAC und SDA gleiche Winkel. Warum?
Der Satz bleibt auch im Spezialfall gültig, hier in geometrischer statt arithmetischer Sprache:
Sekanten-Tangenten-Satz:
- Schneidet eine Sekante eine Tangente, so ist das
Rechteck, gebildet aus den Abschnitten der Sekante, flächengleich dem Quadrat
über dem Tangentenabschnitt.
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Gegeben ein Rechteck. Konstruiere ein dazu flächengleiches Quadrat!
Der Sekanten-Tangenten-Satz gibt Hinweis und Begründung für ein Konstruktions-verfahren:
Lege die Rechteck-Seiten zu Abschnitten einer Kreis-Sekante aneinander. Wo muss der Kreis-Mittelpunkt
liegen? Beim Radius des Kreises hast du Freiheit.
Dann zeichne eine Tangente an den Kreis.
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