Potenzgerade

Der selbe Sachverhalt - Sekantensatz bzw. Sekanten-Tangenten-Satz - anders gesehen:
Betrachte eine Gerade und auf ihr zwei Punkte A und B. Durch A und B kann man viele Kreise zeichnen, die die Gerade als Sekante haben. Betrachte noch einen weiteren Punkt P auf der Geraden. Die Sekantenabschnitte PA und PB sind natürlich für alle Kreise gleich, folglich auch ihr Produkt. Also (?) besitzt P bezüglich aller Kreise die selbe Potenz. Deshalb heißt die Gerade auch Potenzgerade bezüglich aller Kreise durch A und B.

Betrachte eine Gerade und auf ihr einen Punkt A. Durch A kann man viele Kreise zeichnen, die die Gerade als Tangente haben. Betrachte noch einen weiteren Punkt P auf der Geraden. Der Tangentenabschnitt PA ist natürlich für alle Kreise gleich, folglich auch sein Quadrat. Deshalb (?) ist die Gerade auch Potenzgerade bezüglich aller berührenden Kreise durch A.

Spießumkehr: Gegeben zwei sich schneidende oder zwei sich berührende Kreise. Wie konstruiert man ihre Potenzgerade?

Für beliebige Kreise gilt der
Satz von der Potenzgeraden

• Die Ortslinie aller Punkte, die bezüglich zweier Kreise die gleiche Potenz haben, ist eine Gerade, die Potenzgerade der beiden Kreise.

Die Potenzgerade steht senkrecht auf der Verbindung der beiden Kreismittelpunkte. Warum?

Wie konstruiert man zu zwei Kreisen, die sich weder schneiden noch berühren, die Potenzgerade?
Tipp: Nimm einen Hilfskreis hinzu, der die beiden schneidet, und konstruiere zu ihm und den beiden gegebenen Kreisen jeweils die Potenzgerade. Welche Eigenschaft hat der Schnittpunkt der beiden Potenzgeraden?

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