Höhen und Winkelhalbierende

Eine Höhe ist das Lot von einem Eckpunkt auf die gegenüberliegende Seite des Dreiecks, wobei man unter Umständen (welchen?) die Seite über einen ihrer Endpunkte hinaus verlängern muss. Den Schnittpunkt der Höhe mit dieser Seite nennt man Höhenfußpunkt. Die drei Höhenfußpunkte bilden das Höhenfußpunktdreieck.

Es gilt:

• In einem spitzwinkligen Dreieck sind die Höhen zugleich die Winkelhalbierenden im Höhenfußpunktdreieck.

Analyse der Aussage und Beweisideen.
D, E, F seien die Fußpunkte der Höhen durch A, B, C. Nach dem Satz von den Höhen im Dreieck schneiden sich die Höhen in einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt H.

Voraussetzung:
Das Dreieck ABC ist spitzwinklig; das bedeutet: Alle Höhen und folglich auch der Höhenschnittpunkt H liegen im Innern des Dreiecks ABC.

Behauptung:

1. Die Winkel HFE und HFD sind gleich.
2. Die Winkel HDE und HDF sind gleich.
3. Die Winkel HED und HEF sind gleich.

Beweis:
Es reicht die 1. Aussage zu beweisen; die übrigen Beweise verlaufen analog. Der Beweis basiert auf zwei Ideen:

1. Die beiden Dreiecke ACD und BCE sind rechtwinklig. Folglich (wieso?) sind die Winkel DAC und EBC gleich.
2. Aus der Umkehrung des Satzes vom Sehnen-Viereck folgt (warum?), dass die Punkte A, F, H, E auf einem Kreis liegen. Also sind die Winkel HAE und HFE gleich als Umfangswinkel über der selben Sehne HE (Umfangswinkel-Satz).
   Aus einer analogen Überlegung (welcher?) folgt, dass die Winkel HFD und HBD gleich sind.

Daraus folgt (erläutere die einzelnen Gleichsetzungen!)
HFE = HAE = DAC = EBC = HBD = HFD, also die 1. Behauptung.

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