Eselsbrücke und Winkelhalbierende
- In einem gleichschenkligen Dreieck ist die Mittelsenkrechte
der Basis zugleich Winkelhalbierende des Winkels an der Spitze.
- In einem gleichschenkligen Dreieck ist die Winkelhalbierende
des Winkels an der Spitze zugleich Mittelsenkrechte der Basis.
Analyse der zweiten Aussage und Beweis:
Wir bezeichnen das gleichschenklige Dreieck mit ABC, wobei C die Spitze und AB die Basis ist.
Voraussetzung:
- Die Seiten AC und BC sind gleich lang ("gleichschenklig").
- Die Winkelhalbierende w des Winkels an der Spitze C schneide die Basis AB im Punkt P.
Dann sind die Winkel ACP und BCP gleich groß.
Behauptung:
- P ist Mittelpunkt der Strecke AB; anders ausgedrückt:
Die Strecken AP und BP sind gleich lang.
- Die Gerade w steht senkrecht auf der Strecke AB; anders ausgedrückt:
Die Winkel APC und BPC sind gleich groß.
Beweis:
Betrachte die beiden Dreiecke APC und BPC.
- Nach Voraussetzung 1 sind die Seiten AC und BC gleich lang.
- Nach Voraussetzung 2 sind die Winkel APC und BPC gleich groß.
- Die beiden Dreiecke haben die Seite PC gemeinsam.
Folglich stimmen die beiden Dreiecke in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel überein.
Nach dem Kongruenz-Satz SW S stimmen sie also auch in den übrigen
Stücken überein, d.h.
- die Strecken AP und BP sind gleich lang (Behauptung 1),
- die Winkel APC und BPC sind gleich groß (Behauptung 2).
Problem:
Teile in einem gleichschenkligen Dreieck ABC die Basis AB durch zwei Teilpunkte P und Q in drei gleich lange Teile und verbinde P und Q mit der Spitze C.
Zeige: Die Strecken PC und QC sind gleich lang.
Frage: Sind auch die drei Teilwinkel an der Spitze gleich groß?
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