D_n und C_n als räumliche Symmetrie-Gruppen

Bei geeigneter Umdeutung können wir die Diedergruppen D_n und ihre zyklischen Untergruppen C_n als räumliche Symmetrie-Gruppen auffassen:

• Einer Drehung in der Ebene um den Punkt P mit dem Drehwinkel a entspricht eine räumliche Drehung um die Drehachse g mit dem Drehwinkel a, wobei g senkrecht zu der Ebene durch den Punkt P verläuft.
  
• Einer Spiegelung in der Ebene an der Spiegelachse g entspricht eine räumliche Drehung um die Drehachse g um 180° ("Klappung").
  Zur Veranschaulichung stelle man sich eine spiegelsymmetrische Figur auf Transparent-Folie ("Ebene") gemalt vor; dann kann man die Geraden-Spiegelung durch Umklappen der Folie real ausführen: Oben und unten, die beiden Flächen ("Dieder"!) sind nicht zu unterscheiden.
   

Es gibt auch nicht so flache Repräsentanten der D_n und der C_n :

• D_n ist die Symmetrie-Gruppe einer Säule (eines geraden Prismas) mit einem regelmäßigen n-Eck als Grundfläche;
  Drehachsen sind zum einen die Achse der Säule (d.i. die Verbindungsgerade der Mittelpunkte von Grund- und Deckfläche),
  zum andern Geraden, die in halber Körperhöhe parallel zu den Spiegelachsen des n-Ecks verlaufen.
   
• C_n ist die Symmetrie-Gruppe einer (geraden) Pyramide mit einem regelmäßigen n-Eck als Grundfläche;
  Drehachse ist die Achse der Pyramide, d.h. die Verbindungsgerade zwischen der Spitze und dem Mittelpunkt der Grundfläche.

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