Definition:
Eine Teilmenge einer Gruppe, die abgeschlossen ist und das neutrale Element enthält,
heißt Untergruppe.
Man kann leicht zeigen, dass zu jedem Element der Untergruppe auch das inverse Element in der Untergruppe liegt.
Die Untergruppe der Symmetriegruppe einer Figur lässt einen Teil der Figur fix.
Satz von Lagrange (1771)
- Die Ordnung einer Untergruppe ist Teiler der Gruppenordnung.
Beispiel:
Die Symmetriegruppe des Quadrats kann nur Untergruppen der Ordnung 4, 2 und 1 haben.
Eine Gruppe der Ordnung 1 kann nur aus der identischen Abbildung bestehen.
Die Untergruppen der Ordnung 4 sind:
{id, sa , sb , d180° } {id, sc , sd , d180° } {id, d90° , d180° , d270°}
Es gibt fünf Untergruppen der Ordnung 2.
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